Esse é um tópico pouco discutido e, pra ser sincera, não sei o porquê.
Deveríamos mesmo discutir isso e o quanto isso agrega quando se trata de um curso de um idioma estrangeiro e se vale o investimento, geralmente, mais alto para ter aulas com um nativo.

Para ser bem objetiva, vou separar a minha explicação em três fatores centrais e, então, dar a minha opinião como professora, ok?

Vamos lá, então:

1) Saber onde o sapato aperta é importante

Por já termos passado por todo processo de aprendizagem do inglês tendo o português ora como aliado ora como inimigo, nós, professores de inglês brasileiros sabemos onde o processo é mais doloroso. Isso quer dizer que nós antevemos conteúdos difíceis primeiro por já termos passado por isso e depois por sabermos como ambas línguas funcionam e sabermos como guiar uma aula a fim de fazer com que nossos alunos não tropecem no que nós já tropeçamos.

Um professor nativo, no entanto, não necessariamente fala português e mesmo se falar não necessariamente terá o tato que professores brasileiros têm para lidar com dificuldades de compreensão por lhes ser algo tão natural aprendido desde pequenos.

E eu, Fernanda, já testemunhei isso! Um conhecido meu professor nativo dos Estados Unidos uma vez me perguntou:
“Nossa, mas por que vocês brasileiros têm tanta dificuldade com o Present Perfect?! Eu não vejo essa dificuldade que vocês veem”.
Só relembrando que Present Perfect é aquele tempo verbal em que usamos Have + (Verbo no Particípio) e é super estranho pra gente, porque maior parte do seu uso não existe no português!

2) E quando o inglês em aula não der conta?

Imagine a seguinte situação: 

O professor nativo dos Estados Unidos começa a explicar um conteúdo que tange um aspecto muito profundo da cultura ou mesmo da história dos Estados Unidos. Quanto mais ele explica, mais ele vai embrenhando em detalhes históricos bem inerentes de “ser americano”. Quando um aluno levantar a mão e disser que não entendeu, será esse professor capaz de transportar isso para a nossa cultura de forma a se fazer entender?

Ter um professor que pode te transmitir não só a língua bem como aspectos fundamentais de sua cultura nativa é mesmo uma grande vantagem, desde que isso possa ser “traduzido” para termos que nós, como brasileiros, possamos entender.

Nós, professores brasileiros, apresentamos aspectos culturais e de história já nos sustentando numa ponte bem estabelecida e sólida com a nossa cultura para que o aluno não só ouça, mas que absorva e possa aplicar!

3) Embate entre português e inglês

Fazer uma imersão no idioma pretendido é muito saudável e promove um grande aprendizado quase osmótico em, geralmente, menos tempo. Eu jamais discordaria disso! Porém, quando estamos imergidos numa língua, nosso porto-seguro se torna a nossa língua-mãe e quando esse nosso oásis tem problemas, podemos acabar transportando-os para o inglês e até mesmo criar vícios e erros quase irreparáveis.

Em termos mais simples: se o português do aluno tiver problemas, isso pode também acarretar problemas no inglês. 

Será que um professor nativo seria capaz de identificar suas dificuldades com o português, apontá-lo e ver como ele está fazendo que você produza errado no inglês?

Pois essa é uma tarefa essencial dos professores brasileiros: por conhecermos bem ambas línguas, sabemos bem como uma pode interferir na outra e como isso pode atrapalhar no seu desenvolvimento no inglês. Logo, trabalhamos essas questões antes que elas se tornem um problema para você!

Conclusão:

Ter um professor nativo poderá, sem sombras de dúvidas, te trazer aspectos de cultura e mesmo de maneirismos, história e regionalismos que só quem nasceu em um país que fala inglês poderia.

Assim como não é todo estrangeiro que entenderia uma referência a um programa de tv brasileiro dos anos 80 (mesmo que ele tenha idade compatível), também não saberemos o mesmo no contexto dele e está tudo bem termos nossas limitações quanto a isso!

Caso seja esse o seu objetivo: aproximar-se da cultura de um determinado país que fala inglês e de seus pormenores históricos, um professor nativo provavelmente será a melhor pedida.

Porém, no que se refere a aprender a língua, ainda mais considerando se você for um aluno iniciante do inglês, ter um professor que já passou por aqueles perrengues antes e que sabe te guiar por eles de forma mais simples e te fazendo basear no português seria o mais indicado.